Question

27、在復習課上，艾斯同學提出了兩個問題向同桌請教．假如你是艾斯的同桌，你能為他解決這兩個問題嗎？那就試試吧！
（1）命題“有兩邊和其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等”是真命題嗎？若是，請畫出圖形，寫出已知、求證和證明；如不是，請舉出反例；
（2）將上述命題中的“中線”改為“高”后，得到的命題是真命題嗎？若是，請畫出圖形，寫出已知、求證和證明；如不是，請舉出反例．

Answer 1

分析：①真命題，畫出圖形△ABC，△EFG中，AB=EF，AC=EG，BD=FH，D，H分別是AC，EG的中點．先證明△ABD≌△EFH（SSS），得出∠ADB=∠EHF，所以∠BDC=∠FHG，再根據SAS證明△BDC≌△FHG，得到BC=FG，從而證出△ABC≌△EFG．
②假命題，畫出圖形，一個銳角三角形和一個鈍角三角形可以滿足這樣的條件，但是不全等．

解答：解：（1）真命題；
已知：AB=EF，AC=EG．AD，FH分別是AC，EG的中線，即AD=CD，EH=HG，且BD=FH
求證：△ABC≌△EFG
證明：∵AB=EF，BD=FH，AD=EH=CD=HG
∴△ABD≌△EFH
∴∠A=∠E，又∵AB=EF，AC=EG
∴△ABC≌△EFG
∴這個命題為真命題．

（2）假命題．
反例：如圖，在△ABC和△ABD中，
AC=AD，CE，DF分別是兩個三角形的高，且CE=DF
很明顯可以看出這兩個三角形一個是銳角三角形，一個是鈍角三角形不全等．
∴此命題是假命題．

點評：此題考查的是判斷真假命題，三角形全等的判定，判斷是否假命題舉出反例即可．