Question

【題目】如圖，長方形紙片ABCD，點E、F分別在邊AB、CD上，連接EF，將∠BEF對折，點B落在直線EF上的B′處，得到折痕EC，將點A落在直線EF上的點A′處，得到折痕EN．

（1）若∠BEB′=110°，則∠BEC=°，∠AEN=°，∠BEC+∠AEN=°．
（2）若∠BEB′=m°，則（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改變？請說明你的理由．
（3）將∠ECF對折，點E剛好落在F處，且折痕與B′C重合，求∠DNA′．

Answer 1

【答案】
（1）55,35,90
（2）解：不變．

由折疊的性質可得：∠BEC=∠B'EC，∠AEN=∠A'EN，

∵∠BEB′=m°，

∴∠AEA'=180°﹣m°，

可得∠BEC=∠B'EC= ∠BEB′= m°，∠AEN=∠A'EN= ∠AEA'= （180°﹣m°），

∴∠BEC+∠AEN= m°+ （180°﹣m°）=90°，

故∠BEC+∠AEN的值不變；

（3）解：由折疊的性質可得：∠B'CF=∠B'CE，∠B'CE=∠BCE，

∴∠B'CF=∠B'CE=∠BCE= ×90°=30°，

在Rt△BCE中，

∵∠BEC與∠BCE互余，

∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣30°=60°，

∴∠B'EC=∠BEC=60°，

∴∠AEA'=180°﹣∠BEC﹣∠B'EC=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠AEN= ∠AEA'=30°，

∴∠ANE=90°﹣∠AEN=90°﹣30°=60°，

∴∠ANE=∠A'NE=60°，

∴∠DNA'=180°﹣∠ANE﹣∠A'NE=180°﹣60°﹣60°=60°

【解析】（1）由折疊的性質可得，∠BEC=∠B'EC，∠AEN=∠A'EN，

∵∠BEB′=110°，

∴∠AEA'=180°﹣110°=70°，

∴∠BEC=∠B'EC= ∠BEB′=55°，∠AEN=∠A'EN= ∠AEA'=35°．

∴∠BEC+∠AEN=55°+35°=90°；

故答案為：55，35，90．

（1）可根據折疊的性質可得出∠BEC=∠B'EC，∠AEN=∠A'EN，∠BEB′與∠AEA互為鄰補角，利用補角的性質可求出結果；（2）借鑒（1）的思路方法即可求解；（3）利用折疊的性質可得：∠B'CF=∠B'CE，∠B'CE=∠BCE，進而證出ECF是等邊三角形，再利用余角的性質可求出結果， 即∠DNA'=60°.