Question

（2011•巴中）如圖所示，△ABC的外接圓圓心0在AB上，點D是BC延長線上一點，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND邊的中線．
（1）求證：△ABC≌△DNC：
（2）試判斷CP與⊙O的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由題意要證全等，根據圓周角定理及等量代換得到全等條件即可解答；
（2）連接OC，利用等量代換證明角OCP為直角即可解答．

解答：解：（1）∵DM⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∴∠MAN=90°-∠MNA，
又∵∠MNA=∠CND，
又∵∠D=90°-∠CND，
∴∠MAN=∠D，
又∵AC=CD，
AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°=∠NCD，
∴△ABC≌△DNC（ASA）

（2）CP是⊙O的切線．證明如下：
連接OC
∵CP為△CND的中線，
∴CP=PD=NP，
∴∠PCD=∠D=∠MAN．
又∠PCD+∠NCP=90°，∠MAN+∠MBC=90°，
∴∠NCP=∠MBC，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠MAN
∴∠OCA+∠NCP=∠MAN+∠MBC=90°
∴CP是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定，全等三角形的判定等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．