Question

【題目】如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點D按逆時針方向旋轉，記∠ADF為α（0°＜α＜180°），在旋轉過程中；

（1）如圖2，當∠α＝　 　時，，當∠α＝　 　時，DE⊥BC；

（2）如圖3，當頂點C在△DEF內部時，邊DF、DE分別交BC、AC的延長線于點M、N，

①此時∠α的度數范圍是　 　；

②∠1與∠2度數的和是否變化？若不變求出∠1與∠2度數和；若變化，請說明理由；

③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度數范圍．

Answer 1

【答案】（1）10°，100°；（2）①55°＜α＜85°；②∠1與∠2度數的和不變，理由見解析③55°＜α≤60°．

【解析】

（1）當∠EDA＝∠B＝40°時，，得出30°＋α＝40°，即可得出結果；當時，DE⊥AB，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出結果；
（2）①由已知得出∠ACD＝45°，∠A＝50°，推出∠CDA＝85°，當點C在DE邊上時，α＋30°＝85°，解得α＝55°，當點C在DF邊上時，α＝85°，即可得出結果；
②連接MN，由三角形內角和定理得出∠CNM＋∠CMN＋∠MCN＝180°，則∠CNM＋∠CMN＝90°，由三角形內角和定理得出∠DNM＋∠DMN＋∠MDN＝180°，即∠2＋∠CNM＋∠CMN＋∠1＋∠MDN＝180°，即可得出結論；
③由，∠1＋∠2＝60°，得出∠2≥2（60°∠2），解得∠2≥40°，由三角形內角和定理得出∠2＋∠NDM＋α＋∠A＝180°，即∠2＋30°＋α＋50°＝180°，則∠2＝100°α，得出100°α≥40°，解得α≤60°，再由當頂點C在△DEF內部時，55°＜α＜85°，即可得出結果．

解：（1）∵∠B＝40°，

∴當∠EDA＝∠B＝40°時，，

而∠EDF＝30°，

∴，

解得：α＝10°；

當時，DE⊥AB，

此時∠A+∠EDA＝180°，

，

∴，

解得：α＝100°；

故答案為10°，100°；

（2）①∵∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝45°，∠A＝50°，

∴∠CDA＝85°，

當點C在DE邊上時，，

解得：，

當點C在DF邊上時，，

∴當頂點C在△DEF內部時，；

故答案為：；②∠1與∠2度數的和不變；理由如下：

連接MN，如圖所示：

在△CMN中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，

∴∠CNM+∠CMN＝90°，

在△MND中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，

即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN＝180°，

∴；

③∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝60°，

∴，

∴∠2≥40°，

∵，

即，

∴，

∴，

解得：α≤60°，

∵當頂點C在△DEF內部時，，

∴∠α的度數范圍為．