Question

【題目】（1）如圖1：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．證明：DE=DF．

（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE和DF分別平分∠ADB和∠ADC，求證：DE=DF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BAD=∠CAD，又因DE⊥AB，DF⊥AC，根據角平分線的性質定理即可證得DE=DF；（2）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BAD=∠CAD，∠ABD=∠CDA=90°，又因DE平分∠ADB，DF平分和∠ADC，可得∠ADE=∠ADF=45°，利用ASA證得△AED≌△AFD，根據全等三角形等的性質即可得結論.

試題解析：

（1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF；

（2）證明：∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠BAD=∠CAD，

∵DE平分∠ADB，DF平分和∠ADC，

∴∠ADE=∠ADF=45°，

在△AED和△AFD中，

，

∴△AED≌△AFD（ASA），

∴DE=DF．