Question

如圖，等邊△ABC的邊長為2，動點P，Q在線段BC上移動（都不與B，C重合），點P在Q的左邊，PQ=1，過點P作PM⊥CB，交AC于M，過點Q作QN⊥CB，交AB于N，連接MN．記CP的長為t．
（1）當t為何值時，四邊形MPQN是矩形？
（2）設四邊形MPQN的面積為S，請說明當P，Q移動時，S是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請求出S關于t的函數關系式；
（3）當t取何值時，以點C，P，M為頂點的三角形與以A，M，N為頂點的三角形相似．判斷此時△MNP的形狀，并請說出理由．

Answer 1

分析：（1）可用兩種方法：
①根據△ABC是等邊三角形及PM⊥CB，QN⊥CB且PM=NQ，得出△MPC≌△NQB，從而求出t的值；
②由于四邊形MPQN是矩形，所以在MPQN中PM=NQ，據此列出關于t的等式，解方程即可．
（2）根據（1）中所求PM、QN的表達式，利用梯形面積表達式即可求出S關于t的函數關系式；
（3）根據對應點和對應邊的不同，會得到不同的相似三角形，再分兩種情況討論．

解答：解：（1）解法一：∵四邊形MPQN是矩形，
∴PM=NQ，（1分）
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵PM⊥CB，QN⊥CB，
∴∠MPC=∠NQB=90°，
∴△MPC≌△NQB，
∴CP=BQ=t，
又∵PQ=1，CP+PQ+BQ=2，
∴t+1+t=2，即t=

1

2

；
解法二：∵△ABC是等邊三角形，PM⊥CB，QN⊥CB，
∴∠B=∠C=60°，
在Rt△CPM和Rt△BQN中，
∵CP=t，BQ=1-t，
∴PM=CP•tanC=t•tan60°=

3

t，
QN=BQ•tanB=（1-t）tan60°=

3

（1-t），
∵四邊形MPQN是矩形，
∴PM=NQ，（1分）
即：

3

t=(1-t)

3

，
解得：t=

1

2

；

（2）S是定值，同（1）中解法二有：∴PM=

3

t，QN=(1-t)

3

，
∴SMPNQ=

1

2

×1×[

3

t+(1-t)

3

]=

3

2

；（2分）

（3）∵△CMP是Rt△，且∠CPM=90°，∠C=60°，△AMN中∠A=60°，
若使△CMP與△AMN相似，對應的頂點只能是：C→A，P→N，M→M或C→A，P→M，M→N，（1分）
①當C→A，P→N，M→M時，由△CMP∽△AMN得：
∵CM=2t，BN=2（1-t）
∴AM=2-2t，AN=2-2（1-t）=2t，
∴

t

2t

=

2t

2-2t

，
解得：t=

1

3

；（1分）
②當C→A，P→M，M→N時，由△CMP∽△ANM得：

CP

AM

=

CM

AN

，
∴

t

2-2t

=

2t

2t

，解得：t=

2

3

，
綜合，所求t=

1

3

或

2

3

．
當t=

2

3

時，都有AM=CP=BN，AN=CM=BP，
且∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ANM≌△CMP≌△BPN，
∴NM=MP=PN即△MNP是等邊三角形．

點評：此題是一道動點問題，解題的關鍵是充分利用相似三角形的性質和矩形的性質列出關于t的等式解答．