Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．

（1）求實數(shù)k的取值范圍．

（2）是否存在實數(shù)k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k≤；（2）存在實數(shù)k，k＝﹣3．

【解析】

（1）根據(jù)判別式的意義得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式即可；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16變形為﹣（x1+x2）2+3x1x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后利用（1）中的范圍確定滿足條件的k的值．

解：（1）根據(jù)題意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，

解得k≤；

（2）根據(jù)題意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，

∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．

∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，

即﹣（x1+x2）2+3x1x2＝﹣16，

∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，

整理得k2﹣2k﹣15＝0，

解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．

∴k＝﹣3．