Question

【題目】已知在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O為坐標原點,OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系,點B在第一象限內.將Rt△OAB沿OB折疊后,點A落在第一象限內的點C處．

（1）求點C的坐標；

（2）若拋物線y=ax2+bx（a≠0）經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；

（3）若拋物線的對稱軸與OB交于點D,點P為線段DB上一點,過P作y軸的平行線,交拋物線于點M．問:是否存在這樣的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在,請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（，3）（2）（3）存在，（ ， ）

【解析】解：（1）過C作CH⊥OA于H，

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，∴OA=。

∵將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處，

∴OC=OA=，∠AOC=60°。

∴OH=，CH="3" 。

∴C的坐標是（，3）。

（2）∵拋物線經過C（，3）、A（，0）兩點，

∴，解得。∴此拋物線的解析式為

（3）存在。

∵的頂點坐標為（，3），即為點C。

MP⊥x軸，設垂足為N，PN＝t，

∵∠BOA＝300，所以ON＝

∴P（）

作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E。

把代入得： 。

∴ M（， ），E（， ）。

同理：Q（，t），D（，1）。

要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD，

即，解得： ， （舍去）。

∴ P點坐標為（， ）。

∴ 存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（， ）。

（1）過C作CH⊥OA于H，根據折疊得到OC=OA=4，∠A0C=60°，求出OH和CH即可。

（2）把C（，3）、A（，0）代入得到方程組，求出方程組的解即可。

（3）如圖，根據等腰梯形的判定，只要CE＝QD即可，據此列式求解。