Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊BC上一點，連接AE，過點E作EM⊥AE，交對角線AC于點M，過點M作MN⊥AB，垂足為N，連接NE．

（1）求證：AE＝NE+ME；

（2）如圖2，延長EM至點F，使EF＝EA，連接AF，過點F作FH⊥DC，垂足為H．

猜想CH與FH存在的數量關系，并證明你的結論；

（3）在（2）的條件下，若點G是AF的中點，連接GH．當GH＝CH時，直接寫出GH與AC之間存在的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）,見解析；（3）

【解析】

（1）如圖1，過點N作NK⊥NE，交AE于點K．再證明△ANK≌△MNE得到，AK＝ME，NK＝NE，再根據正方形的性質即可證明；

（2）過點F作FP⊥BC，交BC的延長線于點P．可得∠P＝∠PCH＝∠CHF＝90°，即四邊形PCHF是矩形．再證明△ABE≌△EPF，可得BE＝PF，AB＝EP．即CP＝BE＝PF．可以說明矩形PCHF是正方形即可說明理由；

（3）延長FH交AC于點Q，由中位線定理可得出AQ＝2GH，由等腰直角三角形的性質可得出CQ＝GH即可．

（1）證明：如圖1，過點N作NK⊥NE，交AE于點K．

∴∠KNE＝90°．

∵MN⊥AB，

∴∠MNA＝90°．

∴∠ANK＝∠MNE．

∵ME⊥AE，

∴∠AEM＝∠ANM＝90°．

∴∠NAK＝∠NME．

∵四邊形ABCD是正方形，∠ANM＝90°．

∴∠MAN＝∠NMA＝45°．

∴AN＝MN．

在△ANK和△MNE中，

，

∴△ANK≌△MNE（ASA）．

∴AK＝ME，NK＝NE．

∴KE＝NE．

∴AE＝AK+KE＝ME+NE．

（2）解：CH＝FH，理由如下：

如圖2，過點F作FP⊥BC，交BC的延長線于點P．

∴∠P＝90°．

∵∠BAE+∠AEB＝∠FEP+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠FEP．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠BCD＝∠PCD＝90°，AB＝BC．

∵FH⊥CD，

∴∠FHC＝90°．

∴∠P＝∠PCH＝∠CHF＝90°．

∴四邊形PCHF是矩形．

在△ABE和△EPF中，

，

∴△ABE≌△EPF（AAS）．

∴BE＝PF，AB＝EP．

∵AB＝BC，

∴EP＝BC．

∴CP＝BE＝PF．

∴矩形PCHF是正方形．

∴FH＝CH．

（3）AC＝GH，理由如下：

如圖3，延長FH交AC于點Q，

在正方形ABCD中，∠ACD＝45°，

∵∠FHC＝90°，

∴∠HQC＝∠HCQ＝45°，

∴CH＝HQ，CQ＝CH，

∵CH＝FH，

∴HQ＝FH，

∵G是AF的中點，

∴GH＝AQ，

又∵GH＝CH，

∴CQ＝GH，

∴AC＝AQ+CQ＝2GH+GH＝（2+）GH．