Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=1，∠ABC=∠ACB=60°，點D是△ABC外一點，且BD=DC，∠DBC=∠DCB=30°，又點M、N分別在AB、AC上，∠MDN=60°，小明為探求△AMN的周長，在AC的延長線上截取了CP=BM，并連接DP，
（1）試說明：MN=NP；
（2）求出△AMN的周長．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在△MBD和△PCD中，
，
∴△MBD≌△PCD（SAS），
∴MD=PD，∠MDB=∠PDC，
又∵∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠BDC=120°，
∴∠MDB+∠MDC=120°，
∴∠PDC+∠MDC=120°，
即∠PDM=120°，
又∵∠MDN=60°，
∴∠PDN=60°，
∴∠MDN=∠PDN=60°，
在△MDN和△PDN中，
，
∴△MDN≌△PDN（SAS），
∴MN=NP；

（2）△AMN的周長=AM+MN+AN，
=AM+NP+AN=AM+AP，
=AM+AC+CP=AM+AC+BM，
=AB+AC=1+1=2；
∴△AMN的周長為2．
分析：（1）易證△MBD≌△PCD（SAS），可得MD=PD，∠MDB=∠PDC，又可得∠PDM=120°，已知∠MDN=60°，所以∠PDN=60°，即∠MDN=∠PDN=60°，所以，通過證明△MDN≌△PDN（SAS），即可得出MN=NP；
（2）由MN=NP，AP=AC+CP，BM=CP，由等量代換，可得△AMN的周長=AM+MN+AN=AM+AC+BM=AB+AC=1+1=2；
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質和全等三角形的判定與性質，考查了學生的綜合運用能力及空間想象能力．