Question

如圖，已知拋物線（b，c是常數，且c<0）與x軸分別交于點A，B（點A位于點B的左側），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為(－1，0)．

（1）b＝　 　 ，點B的橫坐標為　 　 （上述結果均用含c的代數式表示）；
（2）連接BC，過點A作直線AE∥BC，與拋物線交于點E．點D是x軸上一點，其坐標為
(2，0)，當C，D，E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連接PB，PC，設所得△PBC的面積為S．
①求S的取值范圍；
②若△PBC的面積S為整數，則這樣的△PBC共有　 　 個．

Answer 1

解：（1）；。
（2）在中，令x=0，得y=c，
∴點C的坐標為（c，0）。
設直線BC的解析式為，
∵點B的坐標為(－2 c，0)，∴。
∵，∴。
∴直線BC的解析式為。
∵AE∥BC，∴可設直線AE的解析式為。
∵點A的坐標為(－1，0)，∴，。
∴直線AE的解析式為。
由解得。
∴點E的坐標為。
∵點C的坐標為，點D的坐標為（2，0），∴直線CD的解析式為。
∵點C，D，E三點在同一直線上，∴。
∴，解得（舍去）。
∴。
∴拋物線的解析式為。
（3）①設點P的坐標為，

∵點A的坐標為(－1，0)，點B的坐標為(4，0)，點C的坐標為（0，－2），
∴AB=5，OC=2，直線CB的解析式為。
當時，，
∵，∴。
當時，過點P作PG⊥x軸于點G，交BC于點F，
∴點F的坐標為。
∴。
∴。
∴當x=2時，。∴。
綜上所述，S的取值范圍為。
②11。

試題分析：（1）將點A的坐標為(－1，0)代入得。
∴。
令，解得。
∴點B的橫坐標為。
（2）求出直線BC的解析式，從而求出直線AE的解析式，得到點E的坐標為，由點C，D，E三點在同一直線上，將代入直線CD的解析式即可求出c，由（1）求出b，從而得到拋物線的解析式。
（3）①分和兩種情況討論。
②當時，，且S為整數，對應的x有4個；
當時，，，且S為整數，對應的x有7個（時只有1個）。
∴若△PBC的面積S為整數，則這樣的△PBC共有11個。