Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，點A（﹣，0），點B（0，1）把△ABO繞點O順時針旋轉，得△A'B'O，點A，B旋轉后的對應點為A'，B'，記旋轉角為α（0°＜α＜360°）．

（1）如圖①，當點A′，B，B′共線時，求AA′的長．

（2）如圖②，當α＝90°，求直線AB與A′B′的交點C的坐標；

（3）當點A′在直線AB上時，求BB′與OA′的交點D的坐標（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（1）AA′=；（2）（，）；（3）（，）.

【解析】

（1）如圖①，只要證明△AOA′是等邊三角形即可；

（2）如圖②，當α=90°，點A′在y軸上，作CH⊥OA′于H．解直角三角形求出BH，CH即可解決問題；

（3）如圖③，設A′B′交x軸于點K．首先證明A′B′⊥x軸，求出OK，A′K即可解決問題；

（1）如圖①，

∵A（﹣，0），B（0，1），

∴OA＝，OB＝1，

∴tan∠BAO＝，

∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，

∵△A′OB′是由△AOB旋轉得到，

∴∠B′＝∠ABO＝60°，OB＝OB′，OA＝OA′，

∴∠OBB′＝60°，

∴∠BOB′＝α＝∠AOA′＝60°，

∴△AOA′是等邊三角形，

∴AA′＝OA＝．

（2）如圖②，當α＝90°，點A′在y軸上，作CH⊥OA′于H．

∵∠A′B′O＝60°，∠CAB′＝30°，

∴∠ACB′＝90°，

∵A′B＝OA′﹣OB＝﹣1，∠BA′C＝30°，

∴BC＝A′B＝，

∵∠HBC＝60°，

∴BH＝BC＝，CH＝BH＝，

∴OH＝1+BH＝，

∴點C的坐標（，）．

（3）如圖③中，設A′B′交x軸于點K．

當A′在AB上時，∵OA＝OA′，

∴∠OAA′＝∠AA′O＝30°，

∵∠OA′B′＝30°，

∴∠AA′K＝60°，

∴∠AKA′＝90°，

∵OA′＝，∠OA′K＝30°，

∴OK＝OA′＝，A′K＝OK＝，

∴A′（，）．