Question

【題目】已知⊙O半徑為1，若點P在⊙O外且⊙O上存在點A、B使得∠APB＝60°，則稱點P是⊙O的領域點．

（1）對以下情況，用三角板或量角器嘗試畫圖，并判斷點P是否是⊙O的領域點（在橫線上填“是”或“不是”）．

①當OP＝1.2時， 點P　 　⊙O的領域點

②當OP＝2時， 點P　 　⊙O的領域點

③當OP＝3時， 點P　 　⊙O的領域點

（2）若點P是⊙O的領域點，則OP的取值范圍是　 　；

（3）如圖，以圓心O為坐標原點建立平面直角坐標系xOy，設直線y＝﹣x+b（b＞0）與x軸、y軸分別相交于點M、N．

①若線段MN上有且只有一個點是⊙O的領域點，求b的值；

②若線段MN上存在⊙O的領域點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①是；②是；③不是；（2）1＜OP≤2；（3）①b＝2；②＜b

【解析】

（1）根據點P是⊙O的領域點的定義即可判斷．

（2）如圖1中，由題可知：若點P剛好是⊙O的領域點，則點P到⊙O的兩條切線PA與PB之間的夾角為60°，求出OP的長即可．

（3）①如圖2中，當點O到直線y＝﹣x+b的距離OP＝2時，線段MN上有且只有一個點是⊙O的領域點，求出b的值即可．

②當直線與⊙O相切時，設切點為E，求出b的值即可判斷．

解：（1）觀察圖形可知圖①②中，點P是⊙O的領域點，圖③中點P不是⊙O的領域點．

故答案為是，是，不是；

（2）由題可知：若點P剛好是⊙O的領域點，則點P到⊙O的兩條切線PA與PB之間的夾角為60°，如圖1，

∵PA、PB與⊙O分別相切于點A、B，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°．

∴OP＝2OA．

設⊙O的半徑為r，則點P剛好是⊙O的領域點時OP＝2r．

所以若點P是⊙O的領域點，則需點滿足1＜OP≤2；

（3）①如圖2中，當點O到直線y＝﹣x+b的距離OP＝2時，線段MN上有且只有一個點是⊙O的領域點，

∵M（b，0），N（0，b），

∴OM＝ON，

∵OP⊥MN，

∴PM＝PN，

∴OP＝PM＝PN＝2，

∴OM＝ON＝2，

∴b＝2，

∴當線段MN上有且只有一個點是⊙O的領域點時 b＝2．

②當直線與⊙O相切時，設切點為E，

∵OE＝EN′＝EM′＝1，

∴ON′＝OM′＝，

觀察圖象可知，當線段MN上存在⊙O的領域點，b的取值范圍為＜b．