Question

【題目】如圖1，在中，，．

問題情境1：（1）與的數量關系為_______；

問題情境2：（2）如圖2，若，且，則與的數量關系是什么．請說明理由；

拓展延伸：（3）將圖2中的繞點順時針旋轉角度（），在旋轉過程中，當，，三點在同一條直線上時，請直接寫出，，之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）或．

【解析】

（1）如圖，作AH⊥BC于H．解直角三角形即可解決問題；

（2）證明△AMB≌△ANC即可得到BM=CN；

（3）如圖3中，作AH⊥MN于H．由△MAB≌△NAC，推出BM＝CN，在Rt△AMH中，MH＝AMcos30°＝AM，由AM＝AN，AH⊥MN，推出MH＝HN，可得CM＝MN+NC＝2MH+BM＝AM+BM；如圖4中，同理可得：BM＝CM+AM．

解：（1），

如圖，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝HC，

∵∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

在Rt△ABH中，cos∠ABH=，

∴BH＝AB∠ABH=ABcos30°＝

∴BC＝2BH=．

（2）.

理由如下：

，

，.

，

，

，

即.

在和中，

，

（3）如圖3中，作AH⊥MN于H．

∵△MAB≌△NAC，

∴BM＝CN，

在Rt△AMH中，MH＝AMcos30°＝AM，

∵AM＝AN，AH⊥MN，

∴MH＝HN，

∵CM＝MN+CN＝2MH+BM＝AM+BM．

如圖4中：C，M，N共線時，同理可得：BM＝CM+AM．

∴或.