Question

【題目】如圖，矩形中，，，點從點出發，以每秒一個單位的速度沿的方向運動；同時點從點出發，以每秒2個單位的速度沿的方向運動，當其中一點到達終點后兩點都停止運動.設兩點運動的時間為秒.

（1）當______時，兩點停止運動；

（2）當為何值時，是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）7秒；（2）當t為2秒或秒時，是等腰三角形.

【解析】

（1）分別計算P、Q到達終點的時間，根據當其中一點到達終點后兩點都停止運動，取時間較短的；

（2）分三種情況討論，利用等腰三角形的定義可求解.

解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，，，

∴,，

∴點運動到終點所需(6+8)÷1=14秒，Q運動到終點所需(6+8)÷2=7秒，

∴當7時，兩點停止運動；

（2）①當t≤4時，P點在線段AB上，Q點在線段BC上時，

若是等腰三角形，則BP=BQ,

即6-t=2t，解得t=2秒；

②當P點在線段AB上，Q點在線段CD上時，此時4＜t≤6,如下圖,

若是等腰三角形，則PQ=BQ,

此時作PE⊥DC,

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠C=∠ABC=90°，

∴四邊形BCEP為矩形，

∴EC=PB=6-t，EP=BC，

∵PQ=BQ，

∴Rt△EPQ≌Rt△CBQ（HL），

∴EQ=QC，

即，解得，

③當P點在線段BC上，Q點在線段CD上時，此時6＜t≤7如下圖，

BP=t-6，QC=2t-8,

∵當6＜t≤7時，QC-BP=2t-8-(t-6)=t-2>0,

∴BQ>QP>QC>BP，不可能是等腰三角形，

綜上所述，當t為2秒或秒時，是等腰三角形.