Question

應用題：有一石拱橋的橋拱是圓弧形，當水面到拱頂的距離小于3.5米時，需要采取緊急措施．如圖所示，正常水位下水面寬AB=60米，水面到拱頂的距離18米．
①求圓弧所在圓的半徑．
②當洪水泛濫，水面寬MN=32米時，是否需要采取緊急措施？計算說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用Rt△AOC求出半徑，再利用勾股定理求出MN的弦心距，即可求出圓弧所在圓的半徑；
（2）再求出水面離拱頂的距離，即可做出正確判斷．

解答：解：（1）找出圓心O與弧AB的中點C交AB與D，
連接OA，
根據垂徑定理得OD⊥AB，AD=BD，
∵AB=60，CD=18，⊙O的半徑為R，
在Rt△ADO中，R²=30²+（R-18）²…3′
解之得：R=34…5′
（2）連接ON，根據垂徑定理得OE⊥MN，ME=NE
在Rt△ONE中，34²=16²+OE²…8′
∴OE=30 …9′
∴CE=34-30=4＞3.5
∴沒有危險，不需要采取緊急措施．…10′

點評：本題主要利用半徑、半弦長、弦心距構造直角三角形，利用勾股定理求解．