Question

如圖，已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，點P是AB邊上的一個動點(P與A、B不重合)，連結PC，過P作PO∥AC交BC于Q點．

(1)如果a、b滿足關系式a²＋b²－12a－16b＋100＝0，c是不等式組的最大整數解，試說明△ABC的形狀．

(2)設AP＝x，S_△PCQ＝y，試求y與x之間的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍．

(3)根據(2)所求得的函數關系式計算：當AP取多長時，△PCQ的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵a2＋b2－12a－16b＋100＝0． 　　即(a－6)2＋(b－8)2＝0 　　∴a＝6，b＝8． 　　解不等式組 　　 　　得　　＜x＜11． 　　∴其最大整數解是x＝10，即c＝10． 　　由于a2＋b2＝62＋82＝100＝102＝c2， 　　∴△ABC是直角三角形． 　　(2)由(1)得： 　　S△ABC＝ab＝×6×8＝24． 　　由三角形的面積公式可得： 　　＝， 　　即　　＝． 　　∴S△PBC＝(10－x)． 　　∵PQ∥AC，∴＝． 　　∴＝＝＝， 　　∴S△PCQ＝·(10－x) 　　＝－x2＋x， 　　即　　y＝－x2＋x． 　　其中，自變量x的取值范圍是 　　0＜x＜10． 　　(3)當x＝－＝5， 　　y最大＝＝6． 　　即當AP取5時，△PCQ的面積最大，最大面積為6．

提示：

本題是一道代數、幾何綜合題． 　　(1)利用已知中條件可求出a、b、c的值，從而可判斷△ABC的形狀． 　　(2)求y與x的函數關系是一種常見題型，利用幾何知識寫出y與x的關系式，化簡即可． 　　(3)即求(2)小問中函數的最值．