Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為原點，點A的坐標為（﹣6，0）．如圖1，正方形OBCD的頂點B在x軸的負半軸上，點C在第二象限．現將正方形OBCD繞點O順時針旋轉角α得到正方形OEFG．

（1）如圖2，若α=60°，OE=OA，求直線EF的函數表達式．
（2）若α為銳角，tanα= ，當AE取得最小值時，求正方形OEFG的面積．
（3）當正方形OEFG的頂點F落在y軸上時，直線AE與直線FG相交于點P，△OEP的其中兩邊之比能否為 ：1？若能，求點P的坐標；若不能，試說明理由

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

過點E作EH⊥OA于點H，EF與y軸的交點為M．

∵OE=OA，α=60°，

∴△AEO為正三角形，

∴OH=3，EH= =3 ．

∴E（﹣3，3 ）．

∵∠AOM=90°，

∴∠EOM=30°．

在Rt△EOM中，

∵cos∠EOM= ，

即 = ，

∴OM=4 ．

∴M（0，4 ）．

設直線EF的函數表達式為y=kx+4 ，

∵該直線過點E（﹣3，3 ），

∴﹣3k+4 =3 ，

解得k= ，

所以，直線EF的函數表達式為y= x+4

（2）

解：如圖2，

射線OQ與OA的夾角為α（ α為銳角，tanα ）．

無論正方形邊長為多少，繞點O旋轉角α后得到正方

形OEFG的頂點E在射線OQ上，

∴當AE⊥OQ時，線段AE的長最小．

在Rt△AOE中，設AE=a，則OE=2a，

∴a2+（2a）2=62，解得a1= ，a2=﹣ （舍去），

∴OE=2a=

，∴S正方形OEFG=OE2=

（3）

解：設正方形邊長為m．

當點F落在y軸正半軸時．

如圖3，

當P與F重合時，△PEO是等腰直角三角形，有 = 或 = ．

在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，

∴點P1的坐標為（0，6）．

在圖3的基礎上，

當減小正方形邊長時，

點P在邊FG 上，△OEP的其中兩邊之比不可能為 ：1；

當增加正方形邊長時，存在 = （圖4）和 = （圖5）兩種情況．

如圖4，

△EFP是等腰直角三角形，

有 = ，

即 = ，

此時有AP∥OF．

在Rt△AOE中，∠AOE=45°，

∴OE= OA=6 ，

∴PE= OE=12，PA=PE+AE=18，

∴點P2的坐標為（﹣6，18）．

如圖5，

過P作PR⊥x軸于點R，延長PG交x軸于點H．設PF=n．

在Rt△POG中，PO2=PG2+OG2=m2+（m+n）2=2m2+2mn+n2，

在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2=m2+n2，

當 = 時，

∴PO2=2PE2．

∴2m2+2mn+n2=2（m2+n2），得n=2m．

∵EO∥PH，

∴△AOE∽△AHP，

∴ = ，

∴AH=4OA=24，

即OH=18，

∴m=9 ．

在等腰Rt△PRH中，PR=HR= PH=36，

∴OR=RH﹣OH=18，

∴點P3的坐標為（﹣18，36）．

當點F落在y軸負半軸時，

如圖6，

P與A重合時，在Rt△POG中，OP= OG，

又∵正方形OGFE中，OG=OE，

∴OP= OE．

∴點P4的坐標為（﹣6，0）．

在圖6的基礎上，當正方形邊長減小時，△OEP的其中

兩邊之比不可能為 ：1；當正方形邊長增加時，存在 = （圖7）這一種情況．

如圖7，過P作PR⊥x軸于點R，

設PG=n．

在Rt△OPG中，PO2=PG2+OG2=n2+m2，

在Rt△PEF中，PE2=PF2+FE2=（m+n ）2+m2=2m2+2mn+n2．

當 = 時，

∴PE2=2PO2．

∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2，

∴n=2m，

由于NG=OG=m，則PN=NG=m，

∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP，∴ =1，

即AN=OA=6．

在等腰Rt△ONG中，ON= m，

∴12= m，

∴m=6 ，

在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，

∴點P5的坐標為（﹣18，6）．

所以，△OEP的其中兩邊的比能為 ：1，點P的坐標是：P1（0，6），P2（﹣6，18），

P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）

【解析】（1）先判斷出△AEO為正三角形，再根據銳角三角函數求出OM即可；（2）判斷出當AE⊥OQ時，線段AE的長最小，用勾股定理計算即可；（3）由△OEP的其中兩邊之比為 ：1分三種情況進行計算即可．此題是正方形的性質題，主要考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，解本題的關鍵是靈活運用勾股定理進行計算．