Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，以BC邊為直徑作⊙O交AB邊于點D，過點D作DE⊥AC于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑等于 ，cosB= ，求線段DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連結OD．

∵AC=BC，

∴∠A=∠B，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∴∠A=∠ODB，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線，

（2）解：如圖，連結CD．

∵⊙O的半徑等于 ，

∴BC=3，∠CDB=90°，

在Rt△CDB中，

cosB= = ，

∴BD=1， ，

∵AC=BC=3，∠CDB=90°．

∴AD=BD=1，

解法一：在Rt△ADC中， ，

解法二：∵∠A=∠A，∠ADC=∠AED=90°，

∴△ACD∽△ADE．

∴ ．

∴

【解析】（1）根據等腰三角形的性質，等邊對等角，得到角相等，得出平行線，得出DE是⊙O的切線；（2）根據在Rt△CDB中，由三角函數和勾股定理求出AC=BC、CD、AD=BD的值，由角相等得出△ACD∽△ADE，得到比例，求出DE的值.
【考點精析】通過靈活運用等腰三角形的性質和解直角三角形，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)即可以解答此題．