Question

【題目】如圖，已知拋物線經過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）求證：△ABC是直角三角形；

（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），C（﹣1，﹣3）；（2）證明見解析；（3）（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．

【解析】

試題分析：（1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；

（2）分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，結合A、B、C三點的坐標可求得∠ABO=∠CBO=45°，可證得結論；

（3）設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質可得或，可求得N點的坐標．

試題解析：

（1）∵頂點坐標為（1，1），∴設拋物線解析式為，又拋物線過原點，∴，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為，即，聯立拋物線和直線解析式可得：，解得：或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；

（3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，），∴ON=|x|，MN=，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB=，BC=，∵MN⊥x軸于點N

∴∠ABC=∠MNO=90°，∴當△ABC和△MNO相似時，有或；

①當時，則有，即，∵當x=0時M、O、N不能構成三角形，∴x≠0，∴，即，解得x=或x=，此時N點坐標為（，0）或（，0）；

②當時，則有，即，∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此時N點坐標為（﹣1，0）或（5，0）；

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．