Question

【題目】（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線的對稱軸繞著點P（，2）順時針旋轉45°后與該拋物線交于A、B兩點，點Q是該拋物線上的一點.

（1）求直線AB的函數表達式；

（2）如圖①，若點Q在直線AB的下方，求點Q到直線AB的距離的最大值；

（3）如圖②，若點Q在y軸左側，且點T（0，t）（t<2）是直線PO上一點，當以P、B、Q為頂點的三角形與△PAT相似時，求所有滿足條件的t的值.

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；

（2）當m=時，點Q到直線AB的距離的最大，最大距離為；

（3）t=1或t=0或t=1-或t=3-.

【解析】

試題分析：（1）根據題意求出直線AB與坐標軸的交點坐標，用待定系數法即可求解；（2）過點Q作x軸的垂線QC，交AB于點C，再過點Q作直線AB的垂線，垂足為D,設Q（m，m2），則C（m,m+2）,用m表示出QC的長，再根據QC與QD的關系，構造QD與m的二次函數模型，利用二次函數的的性質即可求得點Q到直線AB的距離的最大值；（3）由題意可知∠APT=45°，△PBQ中必有一個內角等于45°，由圖知∠BPQ=45°不合題意.分兩種情況，①若∠PBQ=45°，可得BQ∥x軸，可證得△BPQ為等腰直角三角形，若△PAT與△BPQ相似，則△PAT也是等腰直角三角形，在分∠PAT為直角或∠PAT為直角兩種情況求t值；②若∠PQB=45°，①中是情況之一，答案同上；現以點F為圓心，FB為半徑作圓，則P、B、Q1都在⊙F上，設⊙F與y軸左側的拋物線交于另一點Q2，根據圓周角定理可得∠PQ2B=∠PQ1B=45°，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，也分兩種情況（i）△Q2PB∽△PAT，（ii）△Q2BP∽△PAT，根據三角形相似，利用相似的性質求t值.

試題解析：解：（1）設直線AB與x軸的交點為M，∵∠OPA=45°，

∴OM=OP=2，即點M的坐標為（-2,0）.

設直線AB的函數解析式為y=kx+b,將M（-2,0）和P（，2）兩點坐標代入，

得，解得，故直線AB的函數解析式為y=x+2.

過點Q作x軸的垂線QC，交AB于點C，再過點Q作直線AB的垂線，垂足為D,

根據條件可知△QDC為等腰直角三角形.

所以QD=,

設Q（m，m2），則C（m,m+2）,

∴QC=m+2-m2=

QD==.

故當m=時，點Q到直線AB的距離的最大，最大距離為.

∵∠APT=45°,∴△PBQ中必有一個內角等于45°，由圖知∠BPQ=45°不合題意.

①若∠PBQ=45°，過點B作x的平行線，與拋物線和y軸分別交于點Q、F，此時滿足∠PBQ1=45°.

∵Q1（-2，4）、F（0，4），∴此時△BPQ1為等腰直角三角形，由題意可知△PAT也為等腰直角三角形.

（i）當∠PAT為直角時，得PT=AT=1，此時t=1；

（ii）當∠PAT為直角時，得PT=2，此時t=0.

②若∠PQB=45°，①中是情況之一，答案同上；

現以點F為圓心，FB為半徑作圓，則P、B、Q1都在⊙F上，設⊙F與y軸左側的拋物線交于另一點Q2，

∵∠PQ2B=∠PQ1B所對的弧相同，

∴∠PQ2B=∠PQ1B=45°.

即這里的交點Q2也符合要求.

設Q2（n，n2）（-2<n<0），由FQ2=2,得，

即，解得，

而-2<n<0，故n=，即Q2（，3）.

可證△PFQ2為等邊三角形，所以∠PFQ2=60°，又弧PQ2=弧PQ2

所以∠PBQ2=∠PFQ2=30°，則在△PQ2B中，∠PQ2B=45°，∠PBQ2=30°.

（i）若△Q2PB∽△PAT，則過點A作y軸垂線，垂足為E.

則ET=AE=,OE=1，∴OT=-1,解得t=1-.

（ii）若△Q2BP∽△PAT，則過點T作直線AB的垂線，垂足為G.

設TG=a，則PG=TG=a，AG=TG=a，AP=

∴a+a=，解得PT=a=-1

∴OT=OP-PT=3-,∴t=3-.

綜上所述，所求t的值為t=1或t=0或t=1-或t=3-.