Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足x+y=xy，那么稱P為和諧點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)A（a，2）是正比例函數(shù)y=kx（k≠0，k為常數(shù)）上的一個(gè)和諧點(diǎn)，求這個(gè)正比例函數(shù)的解析式；
（2）試判斷函數(shù)y=﹣2x+1的圖象上是否存在和諧點(diǎn)？若存在，求出和諧點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）直線l：y=kx+2經(jīng)過(guò)和諧點(diǎn)P，且與反比例函數(shù)G：y=﹣ 交于M、N兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，求出直線l的解析式，并在x軸上找一點(diǎn)Q使得QM+QN最小．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A（a，2）是正比例函數(shù)y=kx（k≠0，k為常數(shù)）上的一個(gè)和諧點(diǎn)，

∴a+2=2a，

∴a=2，

∴A（2，2），

∴2=2k，

∴k=1，

∴正比例函數(shù)的解析式為y=x

（2）

解：不存在．理由如下，

設(shè)M（a，b）是函數(shù)y=﹣2x+1的圖象上和諧點(diǎn)，

則有 ，消去b得，a﹣2a+1=a（﹣2a+1），整理得2a2﹣2a+1=0，

∵△=4﹣8=﹣4＜0，

∴方程無(wú)解，

∴函數(shù)y=﹣2x+1的圖象上不存在和諧點(diǎn)

（3）

解：由題意假設(shè)P（x，3），則x+3=3x，

∴x= ，

∴P（ ，3），代入y=kx+2得3= k+2，

∴k= ，

∴直線l的解析式的解析式為y= x+2，

由 解得 或 ，

不妨設(shè)M（﹣1， ），N（﹣2， ），如圖，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′交x軸于Q，此時(shí)NQ+QM最小．

∵N′（﹣2，﹣ ），M（﹣1， ），

∴直線MN′的解析式為y=2x+ ，

令y=0得到，x=﹣ ，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣ ，0）

【解析】（1）根據(jù)和諧點(diǎn)，列出方程求出a以及點(diǎn)A坐標(biāo)，即可解決問(wèn)題．（2）不存在．設(shè)M（a，b）是函數(shù)y=﹣2x+1的圖象上和諧點(diǎn)，則有 ，消去b得，a﹣2a+1=a（﹣2a+1），整理得2a2﹣2a+1=0，由△=4﹣8=﹣4＜0，可知方程無(wú)解，由此即可判斷．（3）首先根據(jù)和諧點(diǎn)的定義求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求出直線l的解析式，利用方程組求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，如圖，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′交x軸于Q，此時(shí)NQ+QM最小．求出直線N′M的解析式即可解決問(wèn)題．