Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，點D在斜邊AB上，分別作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E、F，得四邊形DECF，設DE=x，DF=y．
（1）求出cosB的值；
（2）用含y的代數式表示AE；
（3）求y與x之間的函數關系式，并求出x的取值范圍；
（4）設四邊形DECF的面積為S，求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理求出AB后，然后根據角的三角函數即可求出結論；
（2）根據題意求證四邊形DECF為矩形，即可推出DF=EC=y，然后結合圖形即可求出AE=8-y；
（3）根據余角的性質即可推出∠A=∠BDF，繼而求證△ADE∽△DBF，結合對應邊成比例和BF=4-x，AE=8-y，即可求出y=-2x+8（0＜x＜4）；
（4）根據（3）所推出的結論，結合矩形的面積公式通過等量代換，即可求出二次函數S=DE•DF=-2x²+8x，然后根據二次函數的最值公式即可求出S的最大值．

解答：解：（1）∵∠C=90°，BC=4，AC=8，
∴cosB=BC：AB=4：4

5

=

5

5

，

（2）∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四邊形DECF為矩形，
∵DF=y，
∴DF=EC=y，
∵AC=8，AE=AC-EC，
∴AE=8-y，

（3）∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠A+∠B=90°，∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF，
∴

AE

DF

=

DE

BF

，
∵矩形DECF，DF=y，DE=x，
∴CF=x，CE=y，
∴BF=BC-CF=4-x，
∵AE=8-y，
∴

8-y

y

=

x

4-x

，
∴y=-2x+8（0＜x＜4），

（4）∵y=-2x+8，DE=x，DF=y，
∴S=DE•DF=xy=x（-2x+8）=-2x²+8x=-2（x²-4x+4）+8，
即S=-2（x-2）²+8，
∴當x=2時，S的值最大，S的最大值為8．

點評：本題主要考查相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，矩形的判定與性質，矩形的面積，二次函數的最值等知識點，角的三角函數，關鍵在于推出AB的長度，求證△ADE∽△DBF，用關于x、y的式子表達出相關的線段，認真的進行計算．