Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，AH是邊BC上的高.

（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）求證：∠DHF=∠DEF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根據平行四邊形的定義證明即可；

（2）根據平行四邊形的對角相等可得∠DEF=∠BAC，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DH=AD，FH=AF，再根據等邊對等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代換即可得到∠DHF=∠DEF．

試題解析：（1）∵點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，

∴DE、EF都是△ABC的中位線，

∴EF∥AB，DE∥AC，

∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，

∴∠DEF=∠BAC，

∵D，F分別是AB，CA的中點，AH是邊BC上的高，

∴DH=AD，FH=AF，

∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，

∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，

∠DHA+∠FHA=∠DHF，

∴∠DHF=∠BAC，

∴∠DHF=∠DEF．