Question

【題目】問題背景：

(1)如圖：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分別是BC．CD上的點且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE連結AG，先證明△ABE≌△ADG．再證明____≌____，可得出結論，他的結論應是____．請你按照小王同學的思路寫出完整的證明過程.

實際應用

(2)如圖，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處．且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離是 海里（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）△AEF≌△AGF，EF＝BE+DF；（2）168

【解析】

（1）先證△ABE≌△ADG后可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再根據∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，可得∠EAF＝∠GAF，從而證得△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之間的關系；

（2）連接EF，延長AE、BF相交于點C，根據已知可證，再證∠OAC+∠OBC=180°，即可說明問題背景中的結論在此仍然成立，即可得出答案.

（1）△AEF≌△AGF，EF＝BE+DF

證明：（1）在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS）.

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，.

∵∠BAD＝120°且∠EAF＝60°

∴∠BAE+∠DAF=120°－60°=60°

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝60°

∴∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF；

（2）168海里；理由如下：

連接EF，延長AE、BF相交于點C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°

∴

又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°

與【問題背景】中的條件一致，所以符合【問題背景】中的結論

∴EF=AE+BF成立

∴EF=1.2（60+80）=168海里；

故答案為168.