Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+c經過平行四邊形ABCD的頂點A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），拋物線與x軸的另一交點為E．經過點E的直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，與拋物線交于另一點F．點P在直線l上方拋物線上一動點，設點P的橫坐標為t

（1）求拋物線的解析式；
（2）當t何值時，△PFE的面積最大？并求最大值的立方根；
（3）是否存在點P使△PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：∵A（0，3），D（2，3），

∴BC=AD=2，

∵B（﹣1，0），

∴C（1，0），

∴線段AC的中點為（ ， ），

∵直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，

∴直線l過平行四邊形的對稱中心，

∵A、D關于對稱軸對稱，

∴拋物線對稱軸為x=1，

∴E（3，0），

設直線l的解析式為y=kx+m，把E點和對稱中心坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線l的解析式為y=﹣ x+ ，

聯立直線l和拋物線解析式可得 ，解得 或 ，

∴F（﹣ ， ），

如圖1，作PH⊥x軸，交l于點M，作FN⊥PH，

∵P點橫坐標為t，

∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣ t+ ），

∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣ t+ ）=﹣t2+ t+ ，

∴S△PEF=S△PFM+S△PEM= PMFN+ PMEH= PM（FN+EH）= （﹣t2+ t+ ）（3+ ）=﹣ （t﹣ ）+ × ，

∴當t= 時，△PEF的面積最大，其最大值為 × ，

∴最大值的立方根為 =

（3）

解：由圖可知∠PEA≠90°，

∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，

①當∠PAE=90°時，如圖2，作PG⊥y軸，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA=45°，

∴∠PAG=∠APG=45°，

∴PG=AG，

∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），

②當∠APE=90°時，如圖3，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，

則PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，

∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，

∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，

∴△PKE∽△AQP，

∴ = ，即 = ，即t2﹣t﹣1=0，解得t= 或t= ＜﹣ （舍去），

綜上可知存在滿足條件的點P，t的值為1或

【解析】（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）由A、C坐標可求得平行四邊形的中心的坐標，由拋物線的對稱性可求得E點坐標，從而可求得直線EF的解析式，作PH⊥x軸，交直線l于點M，作FN⊥PH，則可用t表示出PM的長，從而可表示出△PEF的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由題意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°兩種情況，當∠PAE=90°時，作PG⊥y軸，利用等腰直角三角形的性質可得到關于t的方程，可求得t的值；當∠APE=90°時，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則可證得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性質可得到關于t的方程，可求得t的值．