Question

【題目】嘗試探究：如圖，在中，，，E，F分別是BC，AC上的點，且，則______；

類比延伸：如圖，若將圖中的繞點C順時針旋轉，則在旋轉的過程中，值是否發生變化？請僅就圖的情形寫出推理過程；

拓展運用：若，，在旋轉過程中，當B，E，F三點在同一直線上時，請直接寫出此時線段AF的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不變化，理由見解析；（3）AF的長為3-或3+．

【解析】

（1）根據直角三角形30°角的性質即可解決問題；
（2）只要證明△ACF∽△BCE，可得 ，由此即可解決問題；
（3）分兩種情形畫出圖形分別解決問題即可；

（1）如圖①中，

∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，EF∥AB，
∴∠CFE=∠A=30°，
∴CF=EC，AC=BC，
∴AF=AC-CF=BC-EC=（BC-EC）=BE，
∴ =，
故答案為．
（2）不變化，
理由如下：如圖②中，

由（1）及旋轉的性質知，∠CFE=∠CAB=30°．
∠FCE=∠ACB=90°．
在Rt△CEF中，tan∠CEF==，
在Rt△CBA中，tan∠ABC= =，
∴ ，
又∵∠FCE=∠ACB=90°，∠FCA+∠ACE=∠FCE，
∠ACE+∠BCE=∠ACB，
∴∠FCA=∠ECB．
∴△ACF∽△BCE，
∴=．
（3）①如圖，由△ECB∽△FCA，可得：AF：BE=CF：EC=．

設BE=a，則AF=a，
∵B，E，F共線，
∴∠BEC=∠AFC=120°，
∵∠EFC=30°，
∴∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，AB=2BC=6，AF=a，BF=EF+BE=4+a，
∴（a）2+（4+a）2=62，
∴a=-1+或-1-（舍棄），
∴AF=a=3-
②如圖，當E，B，F共線時，同法可證：AF=BE，∠AFB=90°，

在Rt△ABF中，62=（4-a）2+（a）2，
解得a=1+或1-（舍棄），
∴AF=a=3+．
AF的長為3-或3+．