Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，頂點為D，直線DC與x軸相交于點E．

（1）當a=﹣1時，求拋物線頂點D的坐標，OE等于多少；

（2）OE的長是否與a值有關，說明你的理由；

（3）設∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范圍；

（4）以DE為斜邊，在直線DE的左下方作等腰直角三角形PDE．設P（m，n），直接寫出n關于m的函數解析式及自變量m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）結論：OE的長與a值無關．理由見解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．

【解析】

(1)求出直線CD的解析式即可解決問題；

(2)利用參數a，求出直線CD的解析式求出點E坐標即可判斷；

(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判斷；

(4)如圖，作PM⊥對稱軸于M，PN⊥AB于N．兩條全等三角形的性質即可解決問題.

解：(1)當a=﹣1時，拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，

∴頂點D(﹣1，4)，C(0，3)，

∴直線CD的解析式為y=﹣x+3，

∴E（3，0），

∴OE=3，

(2)結論：OE的長與a值無關．

理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，

∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，

∴直線CD的解析式為y=ax﹣3a，

當y=0時，x=3，

∴E（3，0），

∴OE=3，

∴OE的長與a值無關．

(3)當β=45°時，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣1，

當β=60°時，在Rt△OCE中，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣，

∴45°≤β≤60°，a的取值范圍為﹣≤a≤﹣1．

(4)如圖，作PM⊥對稱軸于M，PN⊥AB于N．

∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，

∴∠DPM=∠EPN，

∴△DPM≌△EPN，

∴PM=PN，PM=EN，

∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，

∴EN=4+n=3﹣m，

∴n=﹣m﹣1，

當頂點D在x軸上時，P(1，﹣2)，此時m的值1，

∵拋物線的頂點在第二象限，

∴m＜1．

∴n=﹣m﹣1(m＜1)．

故答案為：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的長與a值無關；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．