Question

（2013•北京）對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下的定義：若⊙C上存在兩個點A、B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關聯點．已知點D（

1

2

，

1

2

），E（0，-2），F（2

3

，0）．
（1）當⊙O的半徑為1時，
①在點D、E、F中，⊙O的關聯點是

D，E

．
②過點F作直線l交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線l上的點P（m，n）是⊙O的關聯點，求m的取值范圍；
（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，求這個圓的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①根據關聯點的定義得出E點是⊙O的關聯點，進而得出F、D，與⊙O的關系；
②若P要剛好是⊙C的關聯點，需要點P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°，進而得出PC的長，進而得出點P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r，再考慮臨界點位置的P點，進而得出m的取值范圍；
（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應在線段EF的中點；再考慮臨界情況，即恰好E、F點為⊙K的關聯時，則KF=2KN=

1

2

EF=2，即可得出圓的半徑r的取值范圍．

解答：解：（1）①如圖1所示，過點E作⊙O的切線設切點為R，
∵⊙O的半徑為1，∴RO=1，
∵EO=2，
∴∠OER=30°，
根據切線長定理得出⊙O的左側還有一個切點，使得組成的角等于30°，
∴E點是⊙O的關聯點，
∵D（

1

2

，

1

2

），E（0，-2），F（2

3

，0），
∴OF＞EO，DO＜EO，
∴D點一定是⊙O的關聯點，而在⊙O上不可能找到兩點與點F的連線的夾角等于60°，
故在點D、E、F中，⊙O的關聯點是D，E；
故答案為：D，E；

②由題意可知，若P要剛好是⊙C的關聯點，
需要點P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°，
由圖2可知∠APB=60°，則∠CPB=30°，
連接BC，則PC=

BC

sin∠CPB

=2BC=2r，
∴若P點為⊙C的關聯點，則需點P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r；
由上述證明可知，考慮臨界點位置的P點，
如圖3，點P₁到原點的距離OP₁=2×1=2，
過點O作直線l的垂線OH，垂足為H，tan∠OGF=

FO

OG

=

2 3

2

=

3

，
∴∠OGF=60°，
∴OH=OGsin60°=

3

；
sin∠OP₁H=

OH

OP

=

3

2

，
∴∠OP₁H=60°，
可得點P₁與點G重合，
過點P₂作P₂M⊥x軸于點M，
可得∠P₂OM=30°，
∴OM=OP₂cos30°=

3

，
從而若點P為⊙O的關聯點，則P點必在線段P₁P₂上，
∴0≤m≤

3

；

（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應在線段EF的中點；
考慮臨界情況，如圖4，
即恰好E、F點為⊙K的關聯時，則KF=2KN=

1

2

EF=2，
此時，r=1，
故若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，這個圓的半徑r的取值范圍為r≥1．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及切線判定與性質以及銳角三角函數關系和新概念等知識，注意臨界點位置的應用是解題關鍵．