Question

【題目】如圖，拋物線與x軸相交于點A（﹣3，0）、點B（1，0），與y軸交于點C（0，3），點D是拋物線上一動點，聯結OD交線段AC于點E．

（1）求這條拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；

（2）求∠ACB的正切值；

（3）當△AOE與△ABC相似時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，所以該拋物線的頂點坐標是（﹣1，4）；（2）2；（3）點D的坐標是（，）或（﹣，2）

【解析】

（1）利用待定系數法確定函數解析式，根據函數解析式求得該拋物線的頂點坐標；

（2）過點B作BH⊥AC于點H，構造直角和直角，利用勾股定理及兩點間的距離公式求得相關線段的長度，從而利用銳角三角函數的定義求解即可；

（3）過點D作DK⊥x軸于點K，構造直角，設，則并由題意可知點D位于第二象限，由于是公共角，所以當與相似時，有2種情況：①，即，由銳角三角函數的定義列出比例式，即可得到D點坐標，②，即，由銳角三角函數的定義列出比例式，即可得到D點坐標.

解：（1）設拋物線解析式為：，將點，，分別代入得：

，解得：

故拋物線解析式為：

由于

所以該拋物線的頂點坐標是；

（2）如圖1，過點B作BH⊥AC于點H

∵，OA＝OC＝3

∴，

∵

∴

∴

∵在直角中，，AB＝4

∴

∴

∵

∴；

（3）如圖2，過點D作DK⊥x軸于點K

設，則．并由題意知點D位于第二象限

∴，

∵∠BAC是公共角

∴當與相似時，有2種情況：

①∠AOD＝∠ABC

∴

∴＝3，解得x1＝，x2＝，經檢驗當x1＝，x2＝時原分式方程有意義

∵點D位于第二象限

∴x2＝舍去

∴；

②∠AOD＝∠ACB

∴

∴＝2，解得，，經檢驗當，時原分式方程有意義

∵點D位于第二象限

∴舍去

∴

綜上所述，當與相似時，求點D的坐標是或．