Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點，順次連接E、G、F、H．

（1）猜想四邊形EGFH是什么特殊的四邊形，并說明理由；

（2）當∠ABC與∠DCB滿足什么關系時，四邊形EGFH為正方形，并說明理由；

（3）猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三個角之間的關系．直接寫出結果____________.

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）∠ABC+∠DCB=90°；（3）∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°或∠GFH+∠ABC-∠DCB=180°

【解析】

（1）根據三角形中位線的性質得到EGAB，EHCD，HFAB，EG∥AB，HF∥AB，根據菱形的判定定理即可得到結論；

（2）根據平行線的性質得到∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB，根據平角的定義得到∠GFH=90°，于是得到結論；

（3）由平行線的性質得到∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB，根據平角的定義即可得到結論．

（1）四邊形EGFH是菱形．理由如下：

∵E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點，

∴EGAB，EHCD，HFAB，EG∥AB，HF∥AB，

∴四邊形EGFH是平行四邊形，EG=EH，

∴四邊形EGFH是菱形；

（2）當∠ABC+∠DCB=90°時，四邊形EGFH為正方形，

理由：∵GF∥CD，HF∥AB，

∴∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB．

∵∠ABC+∠DCB=90°，

∴∠GFH=90°，

∴菱形EGFH是正方形；

（3）當∠ABC+∠DCB＜180°時，∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°．

理由如下：

∵GF∥CD，HF∥AB，

∴∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB．

∵∠BFG+∠GFH+∠HFC=180°，

∴∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°．

當∠ABC+∠DCB=180°時，∠GFH=0°，四邊形EGFH不存在，∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°；

當∠ABC+∠DCB＞180°時，∠GFH+∠ABC﹣∠DCB=180°．

綜上所述：∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°或∠GFH+∠ABC-∠DCB=180°．