Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE=CD．

（1）求證：DB=DE；

（2）過點D作DF垂直BE，垂足為F，若CF=3，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)36

【解析】試題分析：（1）據等邊三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據角之間的關系求得∠DBC=∠CED，根據等角對等邊即可得到DB=DE；（2）由（1）知，DB=DE，再由DF⊥BE，根據等腰三角形的三線合一的性質可得DF垂直平分BE，再由∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，可得∠CDF=30°，因為CF=3，根據30°角直角三角形的性質可得DC=6，即可得AC=12，所以△ABC的周長為36．

試題解析：

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∴∠DBC=30°（等腰三角形三線合一），

∵CE=CD，

∴∠CDE=∠CED．

又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，

∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．

∴∠DBC=∠DEC．

∴DB=DE（等角對等邊）．

（2）∵DF⊥BE，由（1）知，DB=DE，

∴DF垂直平分BE，

∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，

∴∠CDF=30°，

∵CF=3，

∴DC=6，

∵AD=CD，

∴AC=12，

∴△ABC的周長=3AC=36．