Question

如圖，將一個邊長為1的正方形紙片ABCD折疊，使點B落在邊AD上（不與A、D重合），MN為折痕，折疊后B′C′與DN交于P．
（1）P判斷△MAB′與△NC′P是否相似？并說明理由；
（2）當B落在什么位置上時，折疊起來的梯形MNC′B′面積最小，并求此時兩紙片重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）求兩三角形相似，只需證明其中的兩個對應角相等即可；
（2）先求出梯形MNC′B′面積最小時，點B的位置，兩紙片重疊部分的面積即是梯形MNC′B′的面積減去三角形NPC'的面積．
解答：解：（1）△MAB′與△NC′P相似，
其理由如下：∵∠NC′P=∠B′AM=90°，
又∵∠B′PD+∠PB′D=90°，∠DB′P+∠MB′A=90°，
∴∠MB′A=∠B′PD，
又由∠NPC′=∠B′PD，
∴∠MB′A=∠NPC′，
∴△MAB′∽△NC′P．

（2）如圖，過N作NR⊥AB與R，
則RN=BC=1，
連BB′，交MN于Q．則由折疊知，
△MBQ與△MB′Q關于直線MN對稱，即△MBQ≌△MB′Q，
有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．
∵∠A=∠MQB，
∴△MQB∽△B′AB，
∴==．
設AB′=x，則BB′²=1+x²，BQ=，代入上式得：
BM=B'M=．
在Rt△MRN和Rt△B′AB中，
∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，
∴∠MNR=∠ABB′，
∵AB=BC，BC=RN，
∴AB=RN，
∴Rt△MRN≌Rt△B′AB，
∴MR=AB′=x．
故C'N=CN=BR=MB-MR=-x=（x-1）²．
∴S_{梯形MNC′B′}=[（x-1）²+（x²+1）]×1=（x²-x+1）=（x-）²+，
得當x=時，即B落在AD的中點處時，梯形面積最小，其最小值．
此時，C′N=，BM=，AM=，
由（1）得===；
故S_△NPC′=×S_△AMB′=×）=，
所以兩紙片重疊部分的面積為：
S_梯形MB'C'N-S_△NPC′==．
點評：本題考查了相似三角形的判定、二次函數的最值、全等三角形的判定和性質及翻轉變換，是一道綜合題，有一定的難度，這要求學生要熟練掌握各部分知識，才能順利解答這類題目．