Question

【題目】如圖，是的外接圓，且，延長至點(diǎn)，使得，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，，．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）若，則：

①求的半徑；

②當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②或．

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC=∠E，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=∠ACB，等量代換證明結(jié)論；

（2）①連接AO并延長交BC于F，連接OC，根據(jù)垂徑定理得到AF⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CF，根據(jù)勾股定理求出AF，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可；

②分∠ABD=90°、∠BAD=90°兩種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．

解：（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴．

（2）①連接并延長交于點(diǎn)，連接．

∵，，

∴，

∵，

∴，

在中，，由勾股定理得：，

設(shè)半徑為，則，

由勾股定理，得：，

解得：．

②當(dāng)運(yùn)動(dòng)到過圓時(shí)，，

∴AD=，

∴．

當(dāng)運(yùn)動(dòng)到過圓時(shí)，，

∴BD=，

∴．