Question

【題目】如圖，在□ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠ABC的平分線交AD于點F．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB＝10，BF＝16，AD＝15， 則□ABCD 的面積是　　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）144

【解析】分析：（1）根據平行四邊形的性質和角平分線的性質證明∠BAE=∠BEA，從而可得AB=BE，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四邊形ABEF是菱形；

（2）過A作AH⊥BE，根據菱形的性質可得AO=EO，BO=FO，BE=AB=10，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的長，進而可得AE長，利用菱形的面積公式計算出AH的長，然后可得ABCD的面積．

詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵∠BAD的平分線交BC于點E，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

同理：AB=AF，

∴AF=BE，

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AB=AF

∴四邊形ABEF是菱形．

（2）過A作AH⊥BE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AO=EO，BO=FO，BE=AB=10，AE⊥BF，

∵BF=16，

∴BO=8，

∴AO==6，

∴AE=12，

∴S菱形ABEF=AEBF=×12×16=96，

∴BEAH=96，

∴AH=9.6，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC=AD=15，

∴S平行四邊形ABCD=9.6×15=144.

故答案為：144．