Question

（2012•宜昌）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點E為底AD上一點，將△ABE沿直線BE折疊，點A落在梯形對角線BD上的G處，EG的延長線交直線BC于點F．
（1）點E可以是AD的中點嗎？為什么？
（2）求證：△ABG∽△BFE；
（3）設AD=a，AB=b，BC=c
    ①當四邊形EFCD為平行四邊形時，求a，b，c應滿足的關系；
    ②在①的條件下，當b=2時，a的值是唯一的，求∠C的度數．

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根據直角三角形斜邊大于直角邊可得DE＞EG，從而判斷點E不可能是AD的中點；
（2）方法一：根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AEB=∠EBF，再根據折疊的性質可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，從而判斷出△FEB為等腰三角形，再根據等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根據等腰三角形的兩個底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根據兩角對應相等，兩三角形相似即可證明；
方法二：與方法一相同求出∠ABG=∠EFB后，根據等腰三角形的兩腰相等，然后根據兩邊對應成比例且夾角相等判斷出兩個三角形相似；
（3）①方法一：根據勾股定理求出BD的長度，再利用兩角對應相等，兩三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解；
方法二：過點D作DH⊥BC于點H，然后求出∠C=∠ABD，再根據直角相等，判斷出△ABD和△HCD相似，根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解；
方法三：先求出△ABD和△GFB相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出BF的長度，再求出△EDG和△FBG相似，根據平行四邊形的對邊相等表示出ED，再表示出DG，然后根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得證；
②方法一：把b=2代入a、b、c的關系式，利用求根公式求出a的兩個根，再根據a是唯一的，可以判定△=c²-16=0，然后求出c=4，再代入根求出a=2，然后判斷出H是BC的中點，利用解直角三角形求出∠C=45°；
方法二：把b=2代入a、b、c的關系式，利用根與系數的關系判斷出關于a的方程的解是正數，再根據a是唯一的，可以判定△=c²-16=0，然后求出c=4，再代入根與系數的關系求出a=2，然后判斷出H是BC的中點，利用解直角三角形求出∠C=45°．

解答：解：（1）不可以．…1分
據題意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，
∴Rt△EGD中，GE＜ED，
∴AE＜ED，
故，點E不可以是AD的中點；…2分
（注：大致說出意思即可；反證法敘述也可）

（2）方法一：
證明：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB為等腰三角形．
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，
∴∠ABG=∠EFB，…4分
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=（180°-∠ABG）÷2，
∠FBE=（180°-∠EFB）÷2，
∴∠BAG=∠FBE，…5分
∴△ABG∽△BFE，
（注：證一對角對應等評2分，第二對角對應等評1分，該小問3分，若只證得△FEB為等腰三角形，評1分．）

方法二：∠ABG=∠EFB（見方法一），…4分
證得兩邊對應成比例：

AB

BF

=

GB

EF

，…5分
由此可得出結論．
（注：兩邊對應成比例，夾角等證得相似，若只證得△FEB為等腰三角形，評1分．）

（3）①方法一：∵四邊形EFCD為平行四邊形，
∴EF∥DC，
證明兩個角相等，得△ABD∽△DCB，…7分
∴

AD

DB

=

DB

CB

，
即

a

a2+b2

=

a2+b2

c

，
∴a²+b²=ac；…8分

方法二：如圖，過點D作DH⊥BC，
∵四邊形EFCD為平行四邊形
∴EF∥DC，
∴∠C=∠EFB，
∵△ABG∽△BFE，
∴∠EFB=∠GBA，
∴∠C=∠ABG，
∵∠DAB=∠DHC=90°，
∴△ABD∽△HCD，…7分
∴

AD

DH

=

AB

HC

，
∴

a

b

=

b

c-a

，
∴a²+b²=ac；…8分（注：或利用tan∠C=tan∠ABD，對應評分）

方法三：證明△ABD∽△GFB，則有

BF

DB

=

BG

AD

，
∴

BF

a2+b2

=

b

a

，則有BF=

b a2+b2

a

，…6分
∵四邊形EFCD為平行四邊形，
∴FC=ED=c-

b a2+b2

a

，
∵ED∥BC，
∴△EDG∽△FBG，
∴

ED

BF

=

DG

BG

，
∴

c- b a2+b2 a

b a2+b2 a

=

a2+b2 -b

b

，
∴a²+b²=ac；…8分

②方法一：解關于a的一元二次方程a²-ac+2²=0，得：
a₁=

c+ c2-16

2

＞0，a₂=

c- c2-16

2

＞0…9分
由題意，△=0，即c²-16=0，
∵c＞0，
∴c=4，
∴a=2…10分
∴H為BC的中點，且ABHD為正方形，DH=HC，∠C=45°；…11分

方法二：設關于a的一元二次方程a²-ac+2²=0兩根為a₁，a₂，
a₁+a₂=c＞0，a₁•a₂=4＞0，
∴a₁＞0，a₂＞0，…9分
由題意，△=0，即c²-16=0，
∵c＞0，
∴c=4，
∴a=2，…10分
∴H為BC的中點，且ABHD為正方形，DH=HC，∠C=45°．…11分

點評：本題綜合考查了相似三角形的性質與判定，根的判別式，根與系數的關系，平行四邊形的性質，折疊的性質，綜合性較強，難度較大，需仔細分析，認真研究，結合圖形理清題目邊長之間的關系，角度之間的關系是解題的關鍵，本題對同學們的能力要求較高．