Question

【題目】定義：若某拋物線上有兩點A、B關于原點對稱，則稱該拋物線為“完美拋物線”．已知二次函數y=ax2﹣2mx+c（a，m，c均為常數且ac≠0）是“完美拋物線”：
（1）試判斷ac的符號；
（2）若c=﹣1，該二次函數圖象與y軸交于點C，且S△ABC=1．
①求a的值；
②當該二次函數圖象與端點為M（﹣1，1）、N（3，4）的線段有且只有一個交點時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設A （p，q）．則B （﹣p，﹣q），

把A、B坐標代入解析式可得： ，

∴2ap2+2c=0．即 ，

∴ ，

∵ac≠0，

∴ ，

∴ac＜0

（2）

解：∵c=﹣1，

∴ ，a＞0，且C（0，﹣1），

∴ ，

①S△ABC= ×2 ×1=1，

∴a=1；

②由①可知：拋物線解析式為y=x2﹣2mx﹣1，

∵M（﹣1，1）、N（3，4）．

∴MN： （﹣1≤x≤3），

依題，只需聯立 在﹣1≤x≤3內只有一個解即可，

∴x2﹣2mx﹣1= x+ ，

故問題轉化為：方程x2﹣（2m+ ）x﹣ =0在﹣1≤x≤3內只有一個解，

建立新的二次函數：y=x2﹣（2m+ ）x﹣ ，

∵△=（2m+ ）2+11＞0且c=﹣ ＜0，

∴拋物線 與x軸有兩個交點，且交y軸于負半軸．

不妨設方程 的兩根分別為x1，x2．（x1＜x2）

則

∵方程 在﹣1≤x≤3內只有一個解．

故分兩種情況討論：

（Ⅰ）若﹣1≤x1＜3且x2＞3：則 ．即： ，

可得： ．

（Ⅱ）若x1＜﹣1且﹣1＜x2≤3：則 ．即： ，

可得： ，

綜上所述， 或

【解析】（1）設A （p，q）．則B （﹣p，﹣q），把A、B坐標代入解析式可得方程組即可得到結論；（2）由c=﹣1，得到 ，a＞0，且C（0，﹣1），求得 ，①根據三角形的面積公式列方程即可得到結果；②由①可知：拋物線解析式為y=x2﹣2mx﹣1，根據M（﹣1，1）、N（3，4）．得到這些MN的解析式 （﹣1≤x≤3），聯立方程組得到x2﹣2mx﹣1= x+ ，故問題轉化為：方程x2﹣（2m+ ）x﹣ =0在﹣1≤x≤3內只有一個解，建立新的二次函數：y=x2﹣（2m+ ）x﹣ ，根據題意得到（Ⅰ）若﹣1≤x1＜3且x2＞3，（Ⅱ）若x1＜﹣1且﹣1＜x2≤3：列方程組即可得到結論．