Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，-2）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若D點在此拋物線上，且AD∥CB，在x軸上是否存在點E，使得以A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，問在x軸下方的拋物線上，是否存在點P使得△APD的面積與四邊形ACBD的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，-2），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

，
解得：

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）設D點坐標為（x，y），E點坐標為（a，0）
∵AD∥CB，
∴兩直線的斜率相等，
∴k_AD=k_BC，
∴

y+1

x

=

0-(-2)

4-0

=

1

2

，
∴y+1=

1

2

x，
又∵點D在拋物線上，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
聯立兩式解得D點的坐標為（5，3），
連接AC，AC=

5

，BC=2

5

，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ACB是直角三角形，
①若Rt△ACB∽RtEDA，如圖1所示，
∵AD∥AC，
∴∠DAB=∠ABC，
∵Rt△ACB∽RtEDA，
∴

AC

DE

=

AB

AD

=

BC

AE

，
∴

5

3

=

5

3 5

=

2 5

a+1

，
當a=5時，等式成立，
∴當E點坐標為（5，0）時，Rt△ACB∽RtAED；
②若Rt△ACB∽RtADE，如圖2所示，
同理可知

AB

AE

=

AC

AD

，即

2 5

3 5

=

5

a+1

，
解得a=

13

2

，
∴AE=

15

2

，根據勾股定理求出DE=

3 5

2

，
檢驗：

AC

DE

=

AB

AE

=

2

3

，
∴存在E點坐標（

13

2

，0）使以A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，
綜上這樣的點有兩個，分別是（5，0），（

13

2

，0）；

（3）由（1）（2）可知：AB=5，D點坐標為（5，3），C點坐標為（0，-2），
假設存在P點（x，y）使得△APD的面積與四邊形ACBD的面積相等，
S_{四邊形ACBD}=S_△ABD+S_△ACB=

1

2

×5×3+

1

2

×5×2=

25

2

，
S_△APD=

1

2

×AD×h=

25

2

，解得h=

5 5

3

，
∴P到直線AD的距離為

5 5

3

，
直線AD的解析式為y=

1

2

x+

1

2

，
P點到直線AD的距離d=

|x-2y+1|

5

=

5 5

3

，
又知y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
解得x=

6±2 39

3

∴這樣的P點存在，坐標為（

6+2 39

3

，

51-3 39

9

）、（

6-2 39

3

，

51-21 39

9

）．