Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8，E是BC邊上的一點，將矩形ABCD沿折痕AE折疊，使得頂點B落在CD邊上的點P處，PC=4（如圖1）．

（1）求AB的長；

（2）擦去折痕AE，連結PB，設M是線段PA的一個動點（點M與點P、A不重合）．N是AB沿長線上的一個動點，并且滿足PM=BN．過點M作MH⊥PB，垂足為H，連結MN交PB于點F（如圖2）．

①若M是PA的中點，求MH的長；

②試問當點M、N在移動過程中，線段FH的長度是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段FH的長度．

Answer 1

【答案】(1)10；（2）； .

【解析】試題分析：（1）設AB=x，根據折疊可得AP=CD=x，DP=CD-CP=x-4，利用勾股定理，在Rt△ADP中，AD2+DP2=AP2，即82+（x-4）2=x2，即可解答；

（2）①過點A作AG⊥PB于點G，根據勾股定理求出PB的長，由AP=AB，所以PG=BG=PB=，在Rt△AGP中，AG=，

由AG⊥PB，MH⊥PB，所以MH∥AG，根據M是PA的中點，所以H是PG的中點，根據中位線的性質得到MH=AG=．

②作MQ∥AN，交PB于點Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據MH⊥PQ，得出HQ=PQ，根據∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，最后代入HF=PB即可得出線段EF的長度不變．

試題解析：（1）設AB=x，則AP=CD=x，DP=CD-CP=x-4，

在Rt△ADP中，AD2+DP2=AP2，

即82+（x-4）2=x2，

解得：x=10，

即AB=10．

（2）①如圖2，過點A作AG⊥PB于點G，

由（1）中的結論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB=，

∵AP=AB，

∴PG=BG=PB=，

在Rt△AGP中，AG=，

∵AG⊥PB，MH⊥PB，

∴MH∥AG，

∵M是PA的中點，

∴H是PG的中點，

∴MH=AG=．

②當點M、N在移動過程中，線段FH的長度是不發生變化；

作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖3，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，MH⊥PQ，

∴EQ=PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF=QB，

∴HF=HQ+QF=PQ+QB=PB=．

∴當點M、N在移動過程中，線段FH的長度是不發生變化，長度為．