Question

已知：如圖所示，等邊三角形ABC的邊長為2，點P和Q分別從A和C兩點同時出發，做勻速運動，且它們的速度相同．點P沿射線AB運動，點Q沿邊BC的延長線運動，設PQ與直線AC相交于點D，作PE⊥AC于E，當P和Q運動時，線段DE的長是否改變？證明你的結論．

Answer 1

當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．理由如下：
作QF⊥AC，交直線AC的延長線于點F，
又∵PE⊥AC于E，
∴∠CFQ=∠AEP=90°，
∵點P、Q做勻速運動且速度相同，
∴AP=CQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=∠FCQ=60°，
∴在△APE和△CQF中

AP=CQ ∠A=∠FCQ ∠AEP=∠CFQ=90°

，
∴△APE≌△CQF，
∴AE=FC，PE=QF且PE∥QF，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，
∴DE=

1

2

EF，
∵EC+CF=EC+AE=AC，
∴DE=

1

2

AC，
又∵等邊△ABC的邊長為2，
∴DE=1，
∴當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．