Question

【題目】已知：如圖（1），在平面直角坐標系中，點A、點B分別在x軸、y軸的正半軸上，點C在第一象限，∠ACB＝90°，AC＝BC，點A坐標為（m，0），點C橫坐標為n，且m2+n2﹣2m﹣8n+17＝0．

（1）分別求出點A、點B、點C的坐標；

（2）如圖（2），點D為邊AB中點，以點D為頂點的直角∠EDF兩邊分別交邊BC于E，交邊AC于F，①求證：DE＝DF；②求證：S四邊形DECF＝S△ABC；

（3）在坐標平面內有點G（點G不與點A重合），使得△BCG是以BC為直角邊的等腰直角三角形，請直接寫出滿足條件的點G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點A（1，0），點B（0，7），點C（4，4）；（2）①見解析；②見解析；（3）點G（-3，3）或（3，11）或（7，8）

【解析】

（1）由非負性可求m，n的值，由“AAS”可證△BCM≌△ACN，可得CM＝CN＝4＝OM，AN＝BM＝3，即可求解；

（2）①由等腰直角三角形的性質可得BD＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠ACD＝45°，AB⊥CD，由“AAS”可證△BDE≌△CDF，可得DE＝DF；

②由全等三角形的性質可得S△BDE＝S△CDF，即可得結論；

（3）分三種情況討論，由等腰直角三角形的性質和全等三角形的性質可求解．

（1）如圖（1），過點C作CM⊥OB，CN⊥OA，

∵m2+n2﹣2m﹣8n+17＝0．

∴（m﹣1）2+（n﹣4）2＝0，

∴m＝1，n＝4，

∴點A（1，0），CM＝4，

∵CM⊥OB，CN⊥OA，∠AOB＝90°，

∴四邊形OMCN是矩形，

∴∠MCN＝90°＝∠ACB，CM＝ON＝4，CN＝OM，

∴AN＝3，∠MCN-∠MVA＝∠ACB-∠MVA

∴∠BCM＝∠ACN，

∵ AC＝BC，∠BMC＝∠ANC，

∴△BCM≌△ACN（AAS）

∴CM＝CN＝4＝OM，AN＝BM＝3，

∴點B（0，7），點C（4，4）；

（2）①如圖（2），連接CD，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，點D為邊AB中點，

∴BD＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠ACD＝45°，AB⊥CD

∵∠EDF＝90°＝∠BDC，

∴∠EDF-∠EDC＝∠BDC-∠EDC

∴∠BDE＝∠CDF，

∵BD＝CD，∠ABC＝∠DCA，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

∴DE＝DF，

②∵△BDE≌△CDF，

∴S△BDE＝S△CDF，

∴S△BDE+S△EDC＝S△CDF+S△EDC，

∴S△BDC＝S四邊形EDFC，

∵AD＝BD，

∴

∴S四邊形DECF＝ S△ABC；

（3）如圖（3），

若∠GBC＝90°，BG＝BC時，且點G在BC下方，過點G作GF⊥OB，過點C作CE⊥OB，

∵∠GBF+∠EBC＝90°，∠GBF+∠BGF＝90°，

∴∠EBC＝∠BGF，

∵∠BEC＝∠BFG＝90°，BG＝BC，

∴△BGF≌△CBE（AAS）

∴BF＝CE＝4，GF＝BE，

∴OF＝OB-BF=7-4=3，

∴點G（﹣3，3），

若 時，且點在BC上方，過點 作M⊥OB，過點C作CE⊥OB，

∵

∴ ，

∵

∴

∴BM＝CE＝4， ，

∴OM＝OB+BM=7+4=11，

∴ ，

若 ， 時，點在BC上方，過點 作N⊥EC，過點C作CE⊥OB，

∵

∴ ，

∵

∴

∴CN＝BE＝3， ，

∴EN＝4+3=7，

∴點

綜上所述：點G（﹣3，3）或G(3,11)或G(7,8)