Question

【題目】如圖，直線y=x上有點A1，A2，A3，…An+1，且OA1=1，A1A2=2，A2A3=4，AnAn+1=2n分別過點A1，A2，A3，…An+1作直線y=x的垂線，交y軸于點B1，B2，B3，…Bn+1，依次連接A1B2，A2B3，A3B4，…AnBn+1，得到△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn+1，則△AnBnBn+1的面積為________．（用含有正整數n的式子表示）

Answer 1

【答案】（22n﹣1﹣2n﹣1）

【解析】∵直線OAn的解析式y=x，∴∠AnOBn=60°．

∵OA1=1，A1A2=2，A2A3=4，AnAn+1=2n，∴A1B1=，A2B2=，A3B3=．

設S=1+2+4+…+2n﹣1，則2S=2+4+8+…+2n，

∴S=2S﹣S=（2+4+8+…+2n）﹣（1+2+4+…+2n﹣1）=2n﹣1，

∴AnBn=（2n﹣1），

∴ =AnBnAnAn+1=×（2n﹣1）×2n=，

故答案為： ．