Question

【題目】（知識背景）

據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括為“勾三、股四、弦五”．像3、4、5這樣為三邊長能構成直角三角形的三個正整數，稱為勾股數．

（應用舉例）

觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…

可以發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過，并且

勾為3時，股，弦；

勾為5時，股，弦；

請仿照上面兩組樣例，用發現的規律填空：

（1）如果勾為7，則股24＝　 　弦25＝ 　　 　

（2）如果勾用（，且為奇數）表示時，請用含有的式子表示股和弦，則股＝　 　，弦＝　 　．

（解決問題）

觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根據應用舉例獲得的經驗進行填空：

（3）如果是符合同樣規律的一組勾股數，（表示大于1的整數），則　 　，　 　，這就是古希臘的哲學家柏拉圖提出的構造勾股數組的公式．

（4）請你利用柏拉圖公式，補全下面兩組勾股數（數據從小到大排列）第一組：　 　、24、　 　：第二組：　 　、　 　、37．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；；（3）；；（4）10；26； 12；35；

【解析】

（1）依據規律可得，如果勾為7，則股24=，

弦25=；
（2）如果勾用n（n≥3，且n為奇數）表示時，則股=，

弦=；
（3）根據規律可得，如果a，b，c是符合同樣規律的一組勾股數，a=2m（m表示大于1的整數），則b=m2-1，c=m2+1；
（4）依據柏拉圖公式，若m2-1=24，則m=5，2m=10，m2+1=26；若m2+1=37，則m=6，2m=12，m2-1=35．

解：（1）依據規律可得，如果勾為7，則股24=，

弦25=；
故答案為：；；
（2）如果勾用n（n≥3，且n為奇數）表示時，則股=，

弦=；
故答案為：；；

（3）根據規律可得，如果a，b，c是符合同樣規律的一組勾股數，a=2m（m表示大于1的整數），則b=m2-1，c=m2+1；
故答案為：m2-1，m2+1；
（4）依據柏拉圖公式，
若m2-1=24，則m=5，2m=10，m2+1=26；
若m2+1=37，則m=6，2m=12，m2-1=35；
故答案為：10、26；12、35．