Question

【題目】已知：如圖，在□ABCD中，DE、BF分別是∠ADC和∠ABC的角平分線，交AB、CD于點E、F，連接BD、EF.

（1）求證：BD、EF互相平分；

（2）若∠A=600，AE=2EB，AD=4，求四邊形DEBF的周長和面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形DEBF的周長為12 ，面積是4

【解析】分析：（1）證明EF、BD互相平分，只要證DEBF是平行四邊形；利用兩組對邊分別平行來證明．
（2）求四邊形DEBF的周長，求出BE和DE即可．

詳解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴CD∥AB,CD=AB,AD=BC

∵DE、BF分別是∠ADC和∠ABC的角平分線

∴∠ADE=∠CDE,∠CBF=∠ABF

∵CD∥AB,∴∠AED=∠CDE,∠CFB=∠ABF

∴∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF

∴AE=AD,CF=CB,∴AE=CF,∴AB-AE=CD-CF 即BE=DF

∵DF∥BE，∴四邊形DEBF是平行四邊形

∵∠A=60°，AE=AD∴△ADE是等邊三角形

∵AD=4，∴DE=AE=4,∵AE=2EB，∴BE=2

∴四邊形DEBF的周長=2(BE+DE)=2(4+2)=12

過D點作DG⊥AB于點G，

在Rt△ADG中，AD=4，∠A=60°，

∴DG=ADcos∠A=4×=

∴四邊形DEBF的面積=BE×DG=2×=4