Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA＝AB＝2，OC＝3，過點B作BD⊥BC，交OA于點D．將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點E和F．

（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）當BE經過(1)中拋物線的頂點時，求CF的長；
（3）在拋物線的對稱軸上取兩點P、Q（點Q在點P的上方），且PQ＝1，要使四邊形BCPQ的周長最小，請直接寫出P點的坐標．

Answer 1

（1）；（2）；（3）（1，）．

試題分析：（1）先根據題意得到點A、B、C的坐標，再根據待定系數法即可求得結果；
（2）先把（1）中的函數關系式配方為頂點式，即可求得頂點坐標，過G作GH⊥AB，垂足為H．即可得到AH＝BH＝1，GH＝－2＝．由EA⊥AB，GH⊥AB，可得GH是△BEA的中位線，從而可得EA＝3GH＝．過B作BM⊥OC，垂足為M．MB＝OA＝AB．由∠EBF＝∠ABM＝90°，可得∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF．即可證得Rt△EBA≌Rt△FBM．再根據全等三角形的性質即可求得結果；
（3）要使四邊形BCPQ的周長最小，可將點C向上平移一個單位，再做關于對稱軸對稱的對稱點C₁，得點C₁的坐標為（－1，1）．可求出直線BC₁的解析式為．再求的直線與對稱軸x＝1的交點即為點Q，坐標為（1，）．從而得到結果．
（1）由題意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.
設經過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+2.
則解得   
∴；
（2）由＝．
∴頂點坐標為G（1，）．
過G作GH⊥AB，垂足為H．
則AH＝BH＝1，GH＝－2＝．
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH．
∴GH是△BEA的中位線 ．
∴EA＝3GH＝．
過B作BM⊥OC，垂足為M ．
則MB＝OA＝AB．
∵∠EBF＝∠ABM＝90°，
∴∠EBA＝∠FBM＝90^°－∠ABF．
∴Rt△EBA≌Rt△FBM．
∴FM＝EA＝．
∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，
∴CF＝FM＋CM＝；
（3）要使四邊形BCPQ的周長最小，可將點C向上平移一個單位，再做關于對稱軸對稱的對稱點C₁，得點C₁的坐標為（－1，1）．可求出直線BC₁的解析式為． 
直線與對稱軸x＝1的交點即為點Q，坐標為（1，）．點P的坐標為（1，）．
點評：二次函數的綜合題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般壓軸題形式出現，難度較大.