Question

如圖，D為△ABC內的一點，E為△ABC外的一點，且∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）求證：△ABD∽△CBE．
（2）求證：△ABC∽△DBE．

Answer 1

分析：（1）觀察圖形，由已知的∠1=∠2，∠3=∠4，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得△ABD∽△CBE；
（2）根據已知的∠1=∠2，利用等式的性質，在∠1，∠2的兩側都加上∠DBC，即可得到∠ABC=∠DBE，同時再利用第一問已證的△ABD∽△CBE，根據相似三角形的對應邊成比例得到：

AB

CB

=

BD

BE

，最后利用兩邊對應成比例，且夾角相等兩三角形相似，即可證得△ABC∽△DBE．

解答：證明：（1）∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知），
∴△ABD∽△CBE（兩角對應相等，兩三角形相似）；

（2）∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC，
即∠ABC=∠DBE，
由（1）△ABD∽△CBE可得：

AB

CB

=

BD

BE

（相似三角形的對應邊成比例），
∴△ABC∽△DBE（兩邊對應成比例，且夾角相等兩三角形相似）．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，其中判定三角形相似的方法有：①如果兩個三角形的三邊對應成比例，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩邊對應成比例，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．相似三角形的性質主要有：兩三角形相似，對應角相等，對應邊成比例．解決本題時，一定要善于利用第一問已證的結論，運用已證的結論得到有關的知識為第二問的證明做準備．