Question

【題目】如圖，D為∠BAC的外角平分線上一點并且滿足BD=CD，∠DBC=∠DCB，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，則下列結論：

①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD.

其中正確的結論有（ ）.

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴DE=DF，

在Rt△CDE和Rt△BDF中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△BDF(HL)，故①正確；

∴CE=AF，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，

∴AE=AF，

∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正確；

∵Rt△CDE≌Rt△BDF，

∴∠DBF=∠DCE，

∴A、B. C.D四點共圓，

∴∠BDC=∠BAC，故③正確；

∠DAE=∠CBD，

∵Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴∠DAE=∠DAF，

∴∠DAF=∠CBD，故④正確；

綜上所述，正確的結論有①②③④共4個.

故選D.

點睛: 本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并準確識圖判斷出全等的三角形是解題的關鍵，難點在于需要二次證明三角形全等．