Question

如圖，在?ABCD中，BC=4，AB=2，點E、F分別是BC、AD的中點．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當四邊形AECF為菱形時，求AC的長．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AD=BC，
∵點E、F分別是BC、AD的中點，
∴DF=

1

2

AD，BE=

1

2

BC，
∴DF=BE，
在△ABE和△CDF中，

AB=CD ∠B=∠D BE=DF

，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）連接AC，
∵在?ABCD中，BC=4，AB=2，點E、F分別是BC、AD的中點，
∴BE=CE=2，
∴AB=BE，
∵四邊形AECF為菱形，
∴AE=EC，AE∥CF，
∴AB=BE=AE，
∴∠B=∠AEB=60°，
∴∠ECF=⊙AEB=60°，
∴∠ACE=

1

2

∠ECF=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACE=90°，
∴AC=

BC2-AB2

=2

3

．