Question

【題目】已知二次函數y=x2+bx+c（b，c為常數）．
（1）當b=2，c=﹣3時，求二次函數圖象的頂點坐標；
（2）當c=10時，若在函數值y=1的情況下，只有一個自變量x的值與其對應，求此時二次函數的解析式；
（3）當c=b2時，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應的函數值y的最小值為21，求此時二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：當b=2，c=﹣3時，二次函數的解析式為y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

故當x=﹣1時，二次函數取得最小值﹣4

（2）解：當c=10時，二次函數的解析式為y=x2+bx+10，

由題意得，x2+bx+10=1有兩個相等是實數根，

∴△=b2﹣36=0，

解得b1=6，b2=﹣6，

∴二次函數的解析式y=x2+6x+10，y=x2﹣6x+10

（3）解：當c=b2時，二次函數解析式為y═x2+bx+b2，

圖象開口向上，對稱軸為直線x=﹣ ，

①當﹣ ＜b，即b＞0時，

在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而增大，

∴當x=b時，y=b2+bb+b2=3b2為最小值，

∴3b2=21，解得b1=﹣ （舍去），b2= ；

②當b≤﹣ ≤b+3時，即﹣2≤b≤0，

∴x=﹣ ，y= b2為最小值，

∴ b2=21，解得b1=﹣2 （舍去），b2=2 （舍去）；

③當﹣ ＞b+3，即b＜﹣2，

在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，y隨x的增大而減小，

故當x=b+3時，y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+9b+9為最小值，

∴3b2+9b+9=21．解得b1=1（舍去），b2=﹣4；

∴b= 時，解析式為：y=x2+ x+7

b=﹣4時，解析式為：y=x2﹣4x+16．

綜上可得，此時二次函數的解析式為y=x2+ x+7或y=x2﹣4x+16

【解析】（1）把b=2，c=﹣3代入函數解析式，求二次函數的最小值；（2）根據當c=10時，若在函數值y=l的情況下，只有一個自變量x的值與其對應，得到x2+bx+5=1有兩個相等是實數根，求此時二次函數的解析式；（3）當c=b2時，寫出解析式，分三種情況進行討論即可．
【考點精析】掌握二次函數的最值是解答本題的根本，需要知道如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．