Question

【題目】已知⊙O的半徑為2，∠AOB=120°．

（1）點O到弦AB的距離為______ ；

（2）若點P為優弧AB上一動點（點P不與A、B重合），設∠ABP=α，將△ABP沿BP折疊，得到A點的對稱點為A′；

①若∠α=30°，試判斷點A′與⊙O的位置關系；

②若BA′與⊙ O相切于B點，判斷△ABP的形狀；

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①點A′在⊙O上；②△PAB為等邊三角形

【解析】試題分析：（1）如圖，作輔助線；證明∠AOC=60°，得到OC=1；

（2）①證明∠PAB=90°，得到PB是⊙O的直徑；證明∠PA′B=90°，即可解決問題．

②證明∠A′BP=∠ABP=60°；借助∠APB=60°，即可得到△PAB為正三角形．

試題解析：（1）如圖，過點O作OC⊥AB于點C；

∵OA=OB，

則∠AOC=∠BOC=×120°=60°，

∵OA=2，

∴OC=1．

故答案為1．

（2）①∵∠AOB=120°，

∴∠APB=∠AOB=60°，

∵∠PBA=30°，

∴∠PAB=90°，

∴PB是⊙O的直徑，

由翻折可知：∠PA′B=90°，

∴點A′在⊙O上．

②由翻折可知∠A′BP=∠ABP，

∵BA′與⊙O相切，

∴∠OBA′=90°，

∴∠ABA′=120°，

∴∠A′BP=∠ABP=60°；

∵∠APB=60°，

∴△PAB為等邊三角形．